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行測指導:數量關系之立體幾何問題

來源:行測指導   中公   2012-10-11

行測技巧:立體幾何問題

近幾年,在國家公務員考試中經常涉及幾何問題。在數學運算題型中,幾何問題包含兩種題型:平面幾何問題和立體幾何問題。為了便于分析和計算,多數立體幾何問題需要轉化到平面上進行求解,關注和學習相關的平面幾何知識是解決立體幾何問題的基礎。平面幾何知識較為簡單,易于掌握,而立體幾何問題較為復雜,考生需要掌握更復雜的計算公式和一定的空間想象能力,難度較大。解決此類題型的技巧方法一一詳解如下:

一、 球、圓柱與錐體

平面圖形通常要計算周長、面積,對立體圖形則計算表面積、體積。

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二、正多面體

正多面體指各面都是全等的正多邊形且每個頂點所接面數都是一樣的凸多面體。這個定義有兩個要點①每個面全等;②頂點所接面數均相等。如正方體每個面都是全等的正方形;每個頂點都接3個面,所以它是正六面體。

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在《幾何原本》3 的最后一卷(第13卷)中,歐幾里得給出了五個正多面體的做法,并且證明只存在這五個正多面體。它們是:

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考生需要著重掌握前三個正多面體,因為這三個正多面體易于計算與想象,真題多有涉及。

【例題2】 連接正方體每個面的中心構成一個正八面體(如下圖所示)。已知正方體的邊長為6厘米,問正八面體的體積為多少立方厘米?

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解析:此題的一般思路是在腦海中搜尋正八面體的體積計算公式,而這個公式我們不常用。

從方法優化來看,解決復雜體積問題的核心是將其轉化為簡單幾何體進行計算。

由圖不難看出,正八面體可以看成由上下(或左右)兩個椎體(是正四面體)組成。錐體的高等于正方體棱長的一半,為3;錐體的底面是正方體四面中心的連線,面積等于正方

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【例題3】 一個正八面體兩個相對的頂點分別為A和B,一個點從A出發,沿八面體的棱移動到B位置,其中任何頂點最多到達1次,且全程必須走過所有8個面的至少1條邊,問有多少種不同的走法?(    )

A.8   B.16   C.24   D.32

解析:如圖所示,把這個正八面體的各頂點標記。從A點出發沿棱移動到達B點。任何頂點最多到達1次,說明A和B分別是起點和終點,且中途不能經過。從A點到1點后只能有兩種路徑滿足經過所有8個面即A-1-2-3-4-B或A-1-4-3-2-B。依此類推,從A到B有2×4=8種走法。

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